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2017年11月 6日 (月)

親和数

 最近、NHKで数学者を題材にしたドラマがあるらしいのだが、その中で先日「親和数」が出てきたそうだ。「親和数」は「友愛数」ともよばれ「異なる 2 つの自然数の組で、自分自身を除いた約数の和が、互いに他方と等しくなるような数」で、例えば、

220の約数 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 の和が 284
284の約数 1, 2, 4, 71, 142 の和が 220

ということで、(220,284) のペアは「親和数」となる。この2つの数字のペアは古代のピタゴラスの時代から知られていたそうで、この「220」と「284」は友愛・親和を表す神聖な数値として聖書にも登場するようだ。

 聖書の内容は、例えば日本聖書協会のサイトにある聖書本文検索のページで見ることができるので、調べてみると、

エズラ記/ 08章 20節:
「また、レビ人に奉仕するようにダビデと高官たちが定めた神殿の使用人の中からも、二百二十人の使用人を連れて来た。皆一人一人その名が記録されている。」

ネヘミヤ記/ 11章 18節:
「聖なる町にいるレビ人の合計は二百八十四人であった。」

などと書かれていて、お互いに友好的な関係にあったことを象徴している感じがする。

 そんな古代から知られていた「親和数」だが、2番目に小さいペア (1184, 1210) が見つかるのは、ピタゴラスの時代から2000年以上も後の1866年になってから。そんなこともあってか、(220, 284) のペアは、偶然にも不思議と引き合う2つのものを象徴する数として長い間親しまれてきたのだと思う。

 数学的な興味に話を移すと、発見の順番では、実は2番目に小さなペアよりも先に、(17296, 18416) と (9363584, 9437056) という少々大きめな数のペアが中世のアラブ人の手で見つけられていたらしい。

 実際には、親和数に関する法則が西暦850年頃にサービト・イブン・クッラという人により導かれていたそうだ。でも、この時代に法則を使っても、見つかったのがたったの2つだけだったことを考えると、やっぱり親和数のペアは特別なものだと思える気がする。

 一方、最近はコンピュータを使って非常に多くの親和数が知られるようになった。実際には、現時点で12億個以上のペアが発見されているそうで、ペアと発見された年がリストアップされているサイトもあったりする。

その中で最大のものは、今年の2017年6月28日にリストに加えられた、10進数で表すと56,250桁にも及ぶ巨大な数のペアだそうだ。

 ということで、今回は親和数について調べてみた。なんだか、親和数の神聖な雰囲気を感じた後にこれだけ膨大な数値を眺めると、なんとなくコンピュータの凄さというか怖さを感じなくもないが、数学的には親和数が無限に存在するかどうかはわかっていないため、今後も親和数もコンピュータによって刻一刻と発見されていくことになるのだろう。

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