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2016年12月 6日 (火)

Lychrel数(Lychrel number)

 今日の日付をヨーロッパ方式で「日月年(西暦下2桁)」で並べると「61216」だから、回文数になる。ブログでは、ずいぶん前になるが、2012年8月21日に「回文数の性質」でネタにしたことがあった。ということで、とりあえず4年前にブログに書いた文章を見直してみた。

 この時には回文数に関連する性質で「ある数と、それを左右反転させた数を足し合わせると回文数になることがある」というものがあった。例えば、今日の日付を日本式に「161205」と並べてしまうと回文数にはならないが、

161205+502161=663366

とすると回文数が現れる。

 また、1回だけでなく、複数回左右反転足し算を続けて回文数が現れる例もあげていた。4年前は、この性質について例をあげる程度で終わってしまったので、今回は、4年ぶりにこの話の続きを書いてみることにした。

 調べてみると、この左右反転足し算の繰り返しは、英語で「Lychrel process」と呼ばれていることがわかった。また、100京以上の1186060307891929990は、回文数になるまでの繰り返し回数が261回、という現時点で知られている中では最大回数の記録を持っている自然数なのだそうだ。

 もう一つ、重要なものに「Lychrel数(Lychrel number)」と呼ばれる数があるらしい。この定義は「Lychrel processの有限回の繰り返しでは回文数にならない」という自然数。

 こういう数が定義されているんだから、それがどんな数だか気になるところだが、実は「Lychrel数が存在するか?」という問題は未解決問題で、存在することを証明した人は今のところいない。

 「196」という自然数が、「Lychrel数」の可能性がある数の中では最小のもの、と言われているが、「196」に対してコンピュータでLychrel processの繰り返しを計算させても、永遠に終わらないのか、それとも何十年後かに止まるかもしれないのか今のところ誰にもわからないようだ。

 ということで、今回は久しぶりに回文数について調べてみた。ネタが豊富な素数とは違って、回文数の話はそれほどネタが見当たらなかった。調べてみてわかったが、どうもLychrel processの最大回数(261回)の数が見つかってから10年以上かかってもこの記録が更新されていないらしい。

 意外に早い段階で回文数になってしまうものがほとんどで、計算がなかなか終わらないものは、無限に終わらないLychrel数なのか、それとも果てしない時間が経った後に終わるのか不明のままの手詰まり状態が10年以上続いている、ということなのかもしれない。

 だから4年以上もブログのネタにするタイミングがなかったのだと思う。また、次に回文数の話題をネタにする日が来るかどうかわからないが、気長に待つしかなさそうだ。

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