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2016年3月

2016年3月31日 (木)

ブログ報告(2016年3月)

 今月は、これまでとパターンを変えて、ずっと「数字の国のミステリー」の内容に沿って数学のミレニアム懸賞問題の紹介をしてきた。

 本は5章の構成で5つの問題を取り上げていたので、ブログでも順番に前回までに5つ分を調べて文章を書いてみたが、実はミレニアム懸賞問題はこれで終わりではなく、本当なら

ホッジ予想
ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題

の2つが残っている。ただ、今日で今月最後ということもあるし、本も前回ブログで紹介したナヴィエ・ストークス方程式の話で終わっているので、今回はキリよくいつものパターンに戻してブログ報告にして、残り2つの懸賞問題の話題はまた来月にしたい。

 ということで、毎月同じで、まずは今月のアクセス状況から。

Blogaccess1603

PV 886 日平均: 約25
UU 637 日平均: 約18

 今月も、ずっと毎日途切れずアクセスがあった。(アクセスしてくださった皆様、ありがとうございます。)

 次は、デバイス別の割合。

Blogdevice1603

PC: 41.42%(2月:42.45%)
iOS: 32.37%(2月:33.46%)
Android: 24.38%(2月:22.75%)
ケータイ: 1.13%(2月:0.96%)
その他: 0.34%(2月:0.38%)

 先月とほぼ同じ割合で、今月も先月同様、検索サイトからのアクセスが多かったのだろう。あと、一時期アクセスがほぼ0だったケータイ(ガラケー)からのアクセスが久しぶりに1%を超えている。私も未だスマホは使ってないが、まだまだ現役で使い続けてる人がそれなりにいるのはちょっと嬉しい。

 もう一つは、アクセスランキング。

Blogrank1603

 ちょうど進級進学シーズンだからか、昨年同様「「進級」「進学」の意味」へのアクセスがトップページを上回った。ちなみに、去年の3月のブログ報告を見ると、2015年3月のこのページのアクセスは「209」だったが、今年はその数も上回る「287」だったから、やっぱりこの時期に関心が高い話題なんだろう。

 それ以外だと、去年の3月に書いた「世界睡眠デー」へのアクセスも多かったようだ。今年の世界睡眠デー(World Sleep Day)は3月18日だったそうだ。

 ということで、今回はブログ報告をした。3月後半、少し肌寒い日が続いたが、ようやく暖かくなって、本格的な春になってきた。4月から良いスタートが切れるように、今から心の準備をしておくことにしたい。

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2016年3月26日 (土)

ナヴィエ・ストークス方程式について調べてみた

 今回が「数字の国のミステリー」の本の最後の章となる。最後の章は「未来を予言するために」というタイトルで、ナヴィエ・ストークス方程式に関する懸賞問題が紹介されている。

 ナヴィエとストークスという2人によって導かれた方程式ということでこの名前が付いている。ということで、まずはこの2人について調べてみた。

 まずは、Wikipediaに載っていたナヴィエの画像(パブリックドメイン)から。

Claudelouis_navier

 自画像というより石膏の像の写真だが、ナヴィエは1785年に生まれ、51歳の時に亡くなったフランスの数学者・物理学者、と紹介されている。研究の業績として、今回紹介する方程式の話のほか、「ガリレオ・ガリレイの梁の強度に関する論文の間違いを訂正している」という話もWikipediaに書かれていた。また、「エッフェル塔に名前を刻まれた72人のフランスの科学者」に含まれていて、エッフェル塔の1階のバルコニーの下に名前が刻まれているそうだ。

次にストークスの画像(パブリックドメイン)。

320pxssstokes

 ストークスは、1819年アイルランド生まれで、83歳で亡くなった数学者・物理学者、と紹介されている。研究の業績もたくさんあり、今回紹介する方程式の他にも「ストークス数」「ストークスの法則(式)」「動粘度の単位:ストークス」などなど、この人の名前が付いているものが、挙げたらキリがないくらいたくさんある。

 こんな2人によって定式化されたのは「流体の運動を記述する」方程式だそうだ。また、今月紹介している本のこの章は、これまでの章と違って、この方程式のことが最初に説明されていて、引用すると「例えば、天気や人口の伸びや空中を飛ぶサッカーボールの後にできる乱流の様子などを説明する方程式」と書かれている。Wikimedia Commons に乱流をイメージできるパブリックドメインの画像を探したら、次のような複雑な渦のようになっている雲を撮った衛星写真が見つかったので貼り付けておこう。

371pxcanary_a2002186_1155_250m

 Wikipediaの「乱流」の項目を見ると「乱流の確立した定義は現時点においても存在しないが、数学的にはナヴィエ・ストークス方程式の非定常解の集合であるということができる」と述べられている。

 しかし、本の最後の方を見ると「ところがまずいことに、誰ひとりとしてその方程式が解けないのだ!」とビックリマーク付きで書かれていた。これがこの章で紹介されている懸賞問題のようだ。具体的には「ナヴィエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ」という問題らしい。

 Wikipediaの項目も、方程式の紹介とは別に懸賞問題自体を説明する項目が別にあり、そこに「方程式の解は、乱流となることがあり、科学や工学に対し計り知れない重要性があるにもかかわらず、乱流は最も難しい物理学の未解決問題の一つとして残っている。」と書かれていて、数学の問題としてばかりでなく、物理学の問題としても未解決な難問だ。

 ということで、今回はナヴィエ・ストークス方程式に関する懸賞問題を紹介した。今月はずっと数学の難問の紹介ばかりになってしまったが、私自身もいろいろ調べて勉強になった。といっても、正直なところ全然わからずちんぷんかんぷんな部分ばかりだったが、この本の最後の章には「なんの事だかちんぷんかんぷんだ、という方もどうぞご心配なく。この方程式を理解できる人はそう多くない。」と慰めの言葉も書かれていた。

 あと、この本の最後の「訳者あとがき」を見てわかったことだが、この本は原著者が11歳から14歳までの子供たちに向けた特別講義とか一般向けのテレビ番組などといったところでの数学啓蒙活動に支えられて書かれたものだ、と述べられていた。だから、本の内容は、難しい話よりも、数学のネタ的な話題が多かったのだと納得した。

 本を読んだ個人的な感想は、「難しいものは難しい」という点を踏まえた上で、あえて難問自体にはあまり触れず、その周辺の一般的にも理解しやすい問題(ただし、易しい訳ではないもの)などを数多く紹介しながら「数学ではどんなことを考えているのか」ということが理解できる感じの構成が良かった。

 実際、今月いろいろ難問について調べた中で、難問をわかりやすく(易しく)解説する、といった類の文章をいくつも見てみたが、少なくとも私には全然わかりやすくも易しくも感じなかった。だから、ブログの方も、懸賞問題の中身自体については、結局よくわからないまま、という感じかもしれないが、それはそれでいいのではないかと思う。

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2016年3月21日 (月)

BSD予想について調べてみた

 今回は「数字の国のミステリー」の第4章の話題から。

 第3章で紹介されている懸賞問題は「バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想」、略して「BSD予想」と呼ばれている問題。これは、バーチスウィンナートン=ダイアーの2人よって提唱された予想だから、こう呼ばれている。

 ということなのだが、この2人のことをWikipediaで見てみたが、(今日までの段階では)残念ながら日本語のページを見つけることはできなかった。確かに、日本ではあまり聞かない名前かもしれない。

 英語のWikipediaには2人を紹介するページがあった。2人ともイギリスの数学者で、ケンブリッジ大学・トリニティ・カレッジに接点があったそうだ。トリニティ・カレッジといえば、あのニュートンがいたところで、昨年の夏に訪れていた(「ケンブリッジ(Cambridge)出張」)ことを思い出した。そういった天才・秀才が集まるところで、1960年代に予想されたものが懸賞問題となっている。

 で、この問題についてだが、とりあえず、Wikipediaを見てみても、正直なところ難しすぎてさっぱりわからない。ただ、本の第4章にそれなりに紹介してあるので、そっちの方を見てみると「楕円曲線」というのもが載っている。

 「楕円曲線」とは、楕円のことではなく、次の画像(パブリックドメイン)ような、左に突き出していたり飛び出していたりするような複雑な曲線のことを指している。

533pxellipticcurvecatalog

 で、本では、このような中で

y2=x3-43x+166

という数式で与えられる曲線上で、ある一定の法則に従ってx座標、y座標がともに整数になる (x,y) の組を探してみると、

(0,0), (3,8), (3,-8), (-5,16), (-5,-16), (11,32), (11,-32)

と有限個しか見つからないことがわかるそうだ。ある一定の法則、というのはここでは説明しないが、なんとなくイメージがわく人もいるかと思ってイメージ画像(パブリックドメイン)を貼り付けておこう。

Ellipticgroup

曲線上の点に対して和や定数倍の計算法則を定義して、それに従って考えるらしい。

 で、この問題に対する本のコメントを引用すると(BSD予想は)「楕円曲線に無数の分数点があるかどうかを判別する手段の有無が問われている」と書かれていた。

 さっき書いた数式で言えば、とりあえず座標が整数になっている7個の点が見つかったが、それ以外に座標が整数や分数になる点があるかどうかは、この法則で探してもわからない。

 だから、これだけでは「座標が整数や分数になっている点が無数なのか、それとも有限個なのか」あるいは「どの程度分布しているのか」という問いには答えてくれない。そこで、このBSD予想の出番になるらしい。なんだか、素数の分布に関わる「リーマン予想」と雰囲気が似ている気もする。

 ということで、今回はBSD予想について調べてみた。ちなみに、この本をもう少し引用すると「そんなことどうでもいいじゃないか、とおっしゃる方もおいでだろうが、とんでもない。」と書かれていた。

 まあ、確かに私自身も「楕円曲線と呼ばれるものの上に整数や分数の点がいくつあるか」と言われても「別にいくつかわからなくったっていいじゃないか?」と正直思う。ただ、本では「楕円曲線」が最新の暗号理論に大きくかかわっている、という話が紹介されている。

 だから、本では、この予想が解かれてしまうと「これらの暗号が解けるようになるかもしれない」から、どうでもいいと無関心でいてはいけない、と言いたいようだ。

 ただ、幸い、と言っていいかどうかわからないが、この予想はかなりの難問のようで、今のところ解決の見通しがたっていない現状のようだから、それほど心配はなさそうだ。

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2016年3月16日 (水)

P≠NP予想について調べてみた

 今回は「数字の国のミステリー」の第3章の話題から。

 第3章で紹介されている懸賞問題は「P≠NP予想」と呼ばれている問題。懸賞問題の中で唯一、人の名前が入ってない。でも誰が最初に考えたか気になるので、まずはその点を調べてみたら、Wikipedia英語版の「P versus NP problem」で見つけることができた。

 このページによると「それが本質的に最初に述べられたのは、1956年にゲーデルがフォン・ノイマンへ宛てた手紙の中だった」と英語で書かれていた。

 ゲーデルは「不完全性定理」を証明した、数学基礎論・論理学といった分野の超有名人だし、フォン・ノイマンも現在のコンピュータの基礎とも言える「ノイマン型コンピュータ」の提唱を始め、数多くの分野で活躍した人だ。

 手紙の中身については「くだけた言い方をすると、(ゲーデルは)「与えられた答えが正しいとコンピュータによって素早く確認できる問題は、コンピュータで解くことも素早くできるのだろうか?」と問いかけた」ということのようだ。

 その手紙から15年後の、1971年にスティーブン・クックという人がこの問題を数学的に定式化したらしい。ここでは細かい数学的な定式化については書かないが、さっきと同じ、くだけた言い方でみると

P: コンピュータによって素早く解くことができる問題全体の集合

NP: 与えられた答えが正しいとコンピュータによって素早く確認できる問題全体の集合

としたとき, クックは「この2つの集合は異なる」と予想している(P≠NP予想)。これが今回紹介する懸賞問題である。

 で、「数字の国のミステリー」の第3章の中身に何が書いてあるかというと、まずはじゃんけん、宝くじ、ギャンブルなどで勝つ確率を調べるために起こりうる全てのパターンを数える話や、魔法陣や数独の数字の並びパターンを全て数える話が続く。

 この章の構成がこうなってる理由はよくわからないが、全てしらみつぶしに数える方法は「パターンの数が膨大すぎて素早くない効率が悪い方法」である、という部分と関連付けたかったのかもしれない。

 本では、その後に「NP完全問題」と呼ばれるものをいくつか紹介している。例えば、数独は、「答えが与えられていれば、正しいことはすぐに確認できる」から「NP」に属するが、果たして「どんな数独の問題が与えられても素早く解くことができる万能な方法が存在するのか?」という問いは「NP完全問題」のひとつのようだ。

 この問題に対して、全てしらみつぶしにパターンを調べる方法より「本質的に素早い万能な」解法はない、ということが数学的に証明されれば、クックの予想は正しいと結論づけられるらしい。

 ということで、今回は「P≠NP予想」について書いてみた。なんとなく身近な感じがしてとっつきやすそうだが、実際には超難問であることは間違いない。だから、素人考えで、例えば「数独は、別にしらみつぶしに数字を入れなくても、もっと効率のいい方法あるんじゃない?」などと勘違いしてはいけない。

 私自身、数独の問題が具体的に与えられれば、それなりに効率よく答えを見つけることはできる気はする。ただ、それは本質的には全然素早くないだろうし、この問題が求めている「本質的に素早い万能な」方法からは程遠いに違いない。

 最後になるが、実は本の第3章は、タイトルが何故か「連勝の秘訣」となっている。これは暗に「ギャンブルで連勝する秘訣が存在しないのと同じで、素人考えで手を出すべきではない」と警告しているのかもしれない。

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2016年3月11日 (金)

ポアンカレ予想について調べてみた

 前回書いた通り、今回は「数字の国のミステリー」の第2章の話題から、「ポアンカレ予想」の話をしようと思う。

 まず、「ポアンカレ予想」は、数学のミレニアム懸賞問題のうち、唯一解決済みのもので、問題を解いたペレルマンが懸賞賞金やフィールズ賞受賞を拒否したことで、数学とは違うところでも以前話題になったことがある。

 ただ、ポアンカレ予想を提示した本人「アンリ・ポアンカレ」についてはあまり話題にならなかった気がする。ということで、前回同様Wikipediaを見てみると、ポアンカレ予想の「アンリ・ポアンカレ」は、フランス・ロレーヌ地方のナンシー出身で、数学・数理物理学・天体力学などの重要な基本原理を確立した、と書かれていた。自画像(パブリックドメイン)も貼り付けておこう。

Poincare

 どんな業績を残したかについてはここでは触れないが、例えば数理物理学の分野では「ポアンカレ賞」というのがあったり、太陽系の小惑星帯の一つに「ポアンカレ」と名付けられた小惑星があったりする。

 次に本題の「ポアンカレ予想」について。とりあえず、Wikipediaを見ると、次のように書いてあった。

「単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S3 に同相である」

予想通り、難解な感じで意味がよくわからない。ただ、3次元球面くらいはなんとか理解できそうか。Wikipediaには「超球面」という項目に載っていて「四次元ユークリッド空間内の球面である」と書かれている。

 以前、ブログで「4次元空間上の図形(2014年3月12日)」を取り上げたことがあった。日付を見たら、ちょうど2年前のことだ。この時は多面体の4次元空間版とでもいうべき図形を幾つか紹介したが、この時は球面については触れなかった。

 実際、画像を見ても、なんだかよくわからない形だが、もしかしたらイメージが湧く人もいるかもしれないので、Wikipediaにある画像と説明文をそれぞれ貼り付け・引用しておくことにする。

Hypersphere coord.PNG
By derivative work: Pbroks13 (talk) Hypersphere_coord.gif: Claudio Rocchini - Hypersphere_coord.gif, CC 表示 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4362118

Wikipediaより引用「立体射影が球面の表面を平面に射影できるのと全く同じように、3 次元球面の表面も 3 次元空間に射影できる。このイメージは 3 次元空間に射影された 3 つの座標方向を示している: parallels(赤)、meridians(青)、hypermeridians(緑)。ステレオグラフ射影の等角性によって、曲線は 4 次元においてそうであるように互いに直交に(黄色の点で)交わる。曲線のすべては円である: <0,0,0,1> と交わる曲線は無限大の半径を持つ(=直線)」

 ちなみに、「数字の国のミステリー」の本では、サッカーボール、立体のティーバッグの話から始まって「形を想像すること」について書かれていたり、海岸線の長さやフラクタルの話から「次元の数値」に関する話題が書かれていたりする。

 例えば、次元の数値の話題では「イギリスのブリテン島の海岸線は1.25次元」「フィヨルドで入り組んでいるノルウェーの海岸線はちょっと高くて1.52次元」「カリフラワーの表面は2.33次元」「ブロッコリーの表面はもう少し入り組んでいて2.66次元」などと言われると、次元の数値自体の意味はよくわからないけど複雑に入り組んでるほど数値が高い、ということはなんとなくわかる気になってくる。

 ポアンカレ予想に出てくる3次元球面の画像は、ブロッコリーよりも当然複雑に入り組んでる感じだし、こう言った複雑な図形の形を想像しながら解いていく難問だ、という理解で間違いはなさそうだと思う。

 といろいろ書いていたら、ポアンカレ予想の具体的な話の前段階が長くなりすぎてしまった。まあ、ポアンカレ予想自体の話題は、ペレルマンに解かれた時にいろいろ話題になっていたこともあるので、これでよしとしよう。

 また、前回と同様、なんだか難しそうでよくわからない感じになってしまったが、そもそも、一般向けに分かりやすく説明している記事や文章をいろいろ調べてみても、実のところあまり分かりやすく感じない気もするし、とにかく非常に複雑なものを想像しながら考えなければならない難問、ということだけでも今回伝えられたとは思うので、これくらいにしよう。

 次回は第3章の話題について書いてみたい。

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2016年3月 6日 (日)

リーマン予想について調べてみた

 前回書いた通り、今回から「数字の国のミステリー」に沿って、数学のミレニアム懸賞問題の話をしたい。今回は、第1章の「リーマン予想」。

 まず、リーマンについて。Wikipediaに書かれている内容を要約すると、リーマンは1826年に生まれ、ドイツでガウスの元で博士号を取得。数学の様々な分野で大きな業績を残したが、何と39歳の若さで亡くなったそうだ。結核を患っていたらしい。自画像(パブリックドメイン)もブログに貼り付けておこう。

220pxgeorg_friedrich_bernhard_riem

 では、本題に移って、「リーマン予想」とは何なのか。これもWikipediaでみてみると、「ゼータ関数の自明でない零点は、全て実部が1/2の直線上に存在する」という予想、と書かれていた。

 「ゼータ関数」とか、なんだかさっぱりわからない。とりあえず、このゼータ関数のグラフと、値を色で表した画像(パブリックドメイン)というのがwikipediaにあったので、なんとなく気分だけでも伝わればと、と思いブログに貼り付けることにした。

320pxriemanncriticallinesvg 240pxcomplex_zeta

 見た目が綺麗だが、こういった形で表現される関数の特徴を数学的に調べる問題と、とりあえず思うことにしよう。

 次に、少し話を変えて、wikipediaの「リーマン予想の歴史」で見てみると「1859年にリーマンは論文「与えられた数より小さい素数の個数について」を発表し、その中でリーマン予想を提示した」と書かれていた。

 この論文を紹介するwikipediaの項目もあって、論文の一部の画像(パブリックドメイン)があったので、ブログに貼り付けておこう。

Page1359pxueber_die_anzahl_der_prim

 論文の中身自体はよくわからないが、論文のタイトルの通り、「素数の個数」や「素数の散らばり具合」に関係しているらしい。

 実際、前回紹介した本の第1章の内容は素数の個数や散らばり具合に関連する話題が書かれている。また、「リーマン予想」を一般の人にわかりやすく説明するために、「素数サイコロ」というものを導入していて、リーマンは「この素数サイコロは公正だ」と予想した、と説明されていた。

 要するに、「リーマン予想」が正しいとすると、適当な数をとってきた時に素数である確率は、適当にサイコロを振って特定の目が出る確率とほぼ同じになるはず、と思えばいいだろうか。

 例えば、6桁以下の自然数を適当に選んだ時に素数である確率は、だいたい12分の1くらいで、偏りがない(公正な)正12角形のサイコロを振って考えるのとほぼ同じ、といった具合である。

 ということで、今回はこれくらいにしておこうと思う。やっぱり懸賞問題は難しく、わかったようなわからないような、という気分が少々抜けないが、そもそも超一流の数学者が150年以上も解けないのだから仕方がない。

 でも、論文の一部の画像とか貴重ものを見れたのは良かったと思う。次回は本の第2章のことについて調べてみたい。

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2016年3月 1日 (火)

本の紹介:数学の国のミステリー

 今回は、久しぶりに本の紹介にしたい。この前何となく大型書店に行った時に手にとって買ってみた「数字の国のミステリー」という本。

 日本語訳の単行本は数年前に出版されたようだが最近文庫版が出たもので、2000年に「ミレニアム懸賞問題(millennium prize problems)」と呼ばれる、100万ドルの懸賞がかけられた難問のうち

リーマン予想
ポアンカレ予想
NP完全問題
バーチ・スウィナートン=ダイヤー予想
ナヴィエ・ストークス方程式

が紹介されている。

 難問を紹介すると言っても、一般の人向けの本なので、難しい話はそれほどなく、例えば最初の章の「リーマン予想」の話では、サッカーの有名選手の背番号には素数が多い、という話から始まって、素数蝉やメルセンヌ素数のような、このブログでも取り上げたことがあるような話なども交えながら「素数の散らばり具合」に関するイメージを伝えて、最後にちょっとだけ難問の「リーマン予想」を紹介して章を終わる、という感じになっている。

 章ごとに一つの問題を独立に紹介していて、それぞれの章どれをとっても読み応えがあるので(例えば、第1章は素数の話だけで62ページ分)、自分の気になる問題の章だけでもじっくり読めば各分野の話題をいろいろ知ることができる。

 また、話題も豊富なので、自分がもし数学がよくわからない人に何か説明することになった時に使えそうなネタがたくさんある感じなのもいい。

 そんなこともあって、何だか今回1回で紹介を終わりにするのももったいない気がしてきた。別に全部紹介する必要はないのだが、私自身ミレニアム懸賞問題についてよく知らないことが多いので、自分の勉強を兼ねて、今月はこの本の各章の紹介をすることにしようかな、とちょっと思っている。

 まあ、ブログではずっとニュースとかのネタが多かったが、たまにはパターンを変えてみるのもいいだろう。

 ということで、今回はここまでにしたいと思うが、次回以降、少しずつこの本に沿ってミレニアム懸賞問題についてブログに書いていこうと思う。

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